Mẹo nhỏ: Để tìm kiếm chính xác bài viết từ BNOK.VN, hãy search trên Google với cú pháp: "Từ khóa" + "BNOK". (Ví dụ: Bài Hát Tiếng Anh BNOK). Tìm kiếm ngay
32 lượt xem

Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng

Bạn đang quan tâm đến Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng phải không? Nào hãy cùng BNOK.VN đón xem bài viết này ngay sau đây nhé, vì nó vô cùng thú vị và hay đấy!

XEM VIDEO Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng tại đây.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki có những công thức gì, hệ quả gì và cách chứng minh từng hệ quả ra sao cùng các dạng bài toán thường găp là những phần kiến thức quan trọng, BNOK.VN sẽ giải đáp qua bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}

left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi frac{a}{c} = frac{b}{d}

frac{a}{c} = frac{b}{d}

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} right)

left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} right) và left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} right)left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} right) ta có:

left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} right)left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} right) ge {left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} right)^2}

left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} right)left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} right) ge {left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} right)^2}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}

frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3. Các hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hệ quả 1:

Nếu:

  [{a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n} = C]

Xem thêm  99+ Hình nền Happy new year 2022 đẹp nhất full hd

[{a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n} = C]

Thì:

  [min(x_1^2 + ... + x_n^2) = frac{C}{{a_1^2 + ... + a_n^2}}]

[min(x_1^2 + ... + x_n^2) = frac{C}{{a_1^2 + ... + a_n^2}}]

Đạt được khi:

  [frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}}]

[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}}]

Hệ quả 2:
Nếu:

  [x_1^2 + ... + x_n^2 = {C^2}]

[x_1^2 + ... + x_n^2 = {C^2}]

Thì:

  [max({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]

[max({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]

đạt được khi:

  [frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} ge 0]

[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} ge 0]

  [min({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = - left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]

[min({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = - left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]

Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi:

  [frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} le 0]

[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} le 0]

3. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-4

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-4b. Dạng phân thức

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-5

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-5

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

c. Một số dạng đặc biệt

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-6

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-6

II. MỘT SỐ KĨ THUẬT ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi

Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức, ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-7

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-7

 

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-8

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-82. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng (a1b1+a2b2+…+anbn)về đại lượng (a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n) hoặc ngược lại.

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-9

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-93. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.

Xem thêm  Đoạn văn tiếng Anh kể về một kỉ niệm đáng nhớ (Cách viết + 18 mẫu)

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-10

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-104. Kỹ thuật thêm bớt

Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn.

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-12

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-12

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-13

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-135. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki

Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quen thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Công thức kỹ thuật đổi biến

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-14

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-14

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-15

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-15

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-16

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-16

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-17

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-17

III. LƯU Ý KHI BIẾN ĐỔI BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 1

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 1

Với một số bất đẳng thức có giả thiết là ta có thể đổi biến:

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 2

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 2

IV: SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI ÁP DỤNG BUNHIACOPXKI

Cho a là số thức dương thỏa mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=a2+1a2

Hướng dẫn:

sai lầm hay gặp phải khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

sai lầm hay gặp phải khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

V. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

a. Bài tập có đáp án:

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

Xem thêm  Reference là gì? Ý nghĩa và Cấu trúc thông dụng nhất

sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}  le sqrt 6

sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}  le sqrt 6

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}}  + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}}  + 1.sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}

1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}}  + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}}  + 1.sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}

le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} right)}

le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} right)}

Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}  le sqrt {3.2}  = sqrt 6

Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}}  + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}  le sqrt {3.2}  = sqrt 6 (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = sqrt {x - 2}  + sqrt {4 - x}

A = sqrt {x - 2}  + sqrt {4 - x}

Lời giải:

A = sqrt {x - 2}  + sqrt {4 - x}

A = sqrt {x - 2}  + sqrt {4 - x}

Điều kiện: 2 le x le 4

2 le x le 4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

{left[ {1.sqrt {x - 2}  + 1.sqrt {4 - x} } right]^2} le left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {x - 2 + 4 - x} right) = {2^2} = 4

{left[ {1.sqrt {x - 2}  + 1.sqrt {4 - x} } right]^2} le left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {x - 2 + 4 - x} right) = {2^2} = 4

begin{array}{l}
 Rightarrow {A^2} le 4
 Leftrightarrow  - 2 le A le 2
end{array}

begin{array}{l}
 Rightarrow {A^2} le 4
 Leftrightarrow  - 2 le A le 2
end{array}

A max = 2 khi frac{1}{{sqrt {x - 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 - x} }} Leftrightarrow x - 2 = 4 - x Leftrightarrow x = 3

frac{1}{{sqrt {x - 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 - x} }} Leftrightarrow x - 2 = 4 - x Leftrightarrow x = 3(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì sqrt {p - a}  + sqrt {p - b}  + sqrt {p - c}  le sqrt {3p}

sqrt {p - a}  + sqrt {p - b}  + sqrt {p - c}  le sqrt {3p}

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

1.sqrt {p - a}  + 1.sqrt {p - b}  + 1.sqrt {p - c}  le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {p - a + p - b + p - c} right)}

1.sqrt {p - a}  + 1.sqrt {p - b}  + 1.sqrt {p - c}  le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {p - a + p - b + p - c} right)}

Leftrightarrow sqrt {p - a}  + sqrt {p - b}  + sqrt {p - c}  le sqrt {3left( {3p - 2p} right)}  = sqrt {3p}

Leftrightarrow sqrt {p - a}  + sqrt {p - b}  + sqrt {p - c}  le sqrt {3left( {3p - 2p} right)}  = sqrt {3p}(điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi frac{1}{{p - a}} = frac{1}{{p - b}} = frac{1}{{p - c}} Leftrightarrow a = b = c

frac{1}{{p - a}} = frac{1}{{p - b}} = frac{1}{{p - c}} Leftrightarrow a = b = c hay tam giác là tam giác đều

b. Bài luyện tập thêm

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, A = sqrt {6 - x}  + sqrt {x + 2}

A = sqrt {6 - x}  + sqrt {x + 2}

b, B = sqrt x  + sqrt {2 - x}

B = sqrt x  + sqrt {2 - x}

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c}{{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} le frac{3}{{sqrt 2 }}

frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c}{{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} le frac{3}{{sqrt 2 }}

(gợi ý: biến đổi vế trái thành sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}  + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}}  + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}

sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}  + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}}  + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}} rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

sqrt {a - 1}  + sqrt {b - 1}  + sqrt {c - 1}  le sqrt {cleft( {ab + 1} right)}

sqrt {a - 1}  + sqrt {b - 1}  + sqrt {c - 1}  le sqrt {cleft( {ab + 1} right)}

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

frac{1}{{{a^3}left( {b + c} right)}} + frac{1}{{{b^3}left( {c + a} right)}} + frac{1}{{{c^3}left( {a + b} right)}} ge frac{3}{2}

frac{1}{{{a^3}left( {b + c} right)}} + frac{1}{{{b^3}left( {c + a} right)}} + frac{1}{{{c^3}left( {a + b} right)}} ge frac{3}{2}

Bài 5: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + sqrt{5}

sqrt{5}

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu bất đẳng thức Bunhiacopxki: lý thuyết, cách chứng minh và bài tập vận dụng. Hi vọng, chia sẻ cùng bài viết bạn đã nắm vững hơn phần kiến thức Đại số 9 tối quan trọng này. Xem thêm bất đẳng thức Cô-si tại đường link này nhứ !

Đăng bởi: BNOK.VN

Chuyên mục: Giáo dục

Đến đây bài viết về Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng đã kết thúc. Hy vọng bạn luôn theo dõi và đọc những bài viết hay của chúng tôi trên website BNOK.VN

Chúc các bạn luôn gặt hái nhiều thành công trong cuộc sống!

Thông báo chính thức: BNOK.VN - Các bài viết được chúng tôi tổng hợp và biên soạn từ nhiều nguồn trên internet. Nêu chúng tôi có sử dụng hình ảnh và nội dung của các bạn mà chưa cập nhật nguồn, Xin liên hệ với chúng tôi thông qua email: info@bnok.vn để chúng tôi đc biết và cập nhật đầy đủ. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của chúng tôi.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.