Bất đẳng thức và các ứng dụng
I. Khái niệm bất đẳng thức cơ bản
1.1 Số thức dương, số thực âm
Nếu a là số thực dương, ta kí hiệu a>0
Nếu a là số thực âm, ta kí hiệu a
Bạn đang xem: Công thức bất đẳng thức
Nếu a là số thực dương hoặc a = 0, ta nói a là số thực không âm, kí hiệu a≥0a≥0
Nếu a là số thực âm hoặc a = 0, ta nói a là số thực không dương, kí hiệu a≤0a≤0
Chú ý: Với hai số thực a, b chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra:
a>b hoặc a
Phủ định của mệnh đề a>0 là a≤0a≤0
Phủ định của mệnh đề a
Bất đẳng thức có được từ hằng đẳng thức dạng (a−b)2≥0
Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Côsi)
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức
Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)
Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.
Chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Ôn tập về Bất đẳng thức
1. Khái niệm bất đẳng thức
– Các mệnh đề dạng “ab” được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
– Nếu mệnh đề “a
– Nếu bất đẳng thức a
3. Tính chất của bất đẳng thức
° Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số:
a
° Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số:
– Với c>0: a
– Với c bc
° Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a
° Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
– Với a>0, c>0: a
° Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa
– Với n ∈ N*: a2n+1 2n+1
– Với n ∈ N* và a>0: a2n 2n
° Khai căn hai vế của một bất đẳng thức
2. Các hệ quả của Bất đẳng thứ Cô-si
° Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
Bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất bất đẳng thức trị tuyệt đối như sau
° |x| ≥ 0, |x| ≥ x, |x| ≥ -x
° Với a>0:
|x| ≤ 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a ⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a
° |a| – |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
Bài tập vận dụng Bất đẳng thức
* Bài 1 trang 79 SGK Đại Số 10: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?
a) 8x > 4x ; b) 4x > 8x
c) 8x2 > 4x2 ; d) 8 + x > 4 + x
* Lời giải:
– Đáp án đúng: d) 8 + x > 4 + x
– Vì 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( tính chất cộng hai vế của BĐT với 1 số). Nên khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.
+ Các đáp án khác sai vì:
a) Ta có: 8 > 4 nên để 8x > 4x thì x > 0
– Do đó, chỉ đúng khi x > 0 (hay nói cách khác nếu x
b) Ta có: 4 8x thì x
– Do đó, khẳng định chỉ đúng khi x
c) chỉ đúng khi x ≠ 0
Bài 2 trang 79 SGK Đại Số 10: Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?
A=5/x; B=5/x + 1; C = 5/x – 1; D = x/5.
* Lời giải:
– Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: – 1
→ Vậy ta có C
* Bài 3 trang 79 SGK Đại Số 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
1) Chứng minh (b – c)2 2
2) Từ đó suy ra: a2 + b2 + c2
* Lời giải:
1) (b – c)2 2
– Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. ⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
– Ta có: (b – c)2 – a2 = (b – c – a)(b – c + a)
Do b c ⇒ b + a – c > 0.
Suy ra: (b – c – a)(b – c + a) 2 – a2 2 2
2) Từ kết quả câu 1) ta có
a2 > (b – c)2
b2 > (a – c)2
c2 > (a – b)2
– Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a2 + b2 + c2 > (b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2
⇒ a2 + b2 + c2 > b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2
⇒ a2 + b2 + c2 > 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca)
⇒ a2 + b2 + c2
Bài 4 trang 79 SGK Đại Số 10: Chứng minh rằng: x3 + y3 ≥ x2y + xy2, ∀x, y ≥ 0
* Lời giải:
Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0
Ta có: x3 + y3 ≥ x2y + xy2
⇔ (x3 + y3) – (x2y + xy2) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0
⇔ (x + y)(x – y)2 ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2 ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi (x – y)2 = 0 ⇔ x = y.
* Bài 5 trang 79 SGK Đại Số 10: Chứng minh rằng:
+ Xét 0 ≤ t 3 3 > 0 ; 1 – t > 0
t8 – t5 + t2 – t + 1 = t8 + (t2 – t5) + (1 – t) = t8 + t2.(1 – t3) + (1 – t) > 0 + 0 + 0 = 0
(vì t8 ≥ 0; t2 ≥ 0 ⇒ t2(1 – t3) ≥ 0)
+ Xét t ≥ 1 ⇒ t3 ≥ 1 ⇒ t3 – 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.
t8 – t5 + t2 – t + 1 = t5.(t3 – 1) + t.(t – 1) + 1 ≥ 0 + 0 + 1 > 0
Vậy với mọi t ≥ 0 thì t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay
Bài 6 trang 79 SGK Đại Số 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải:
– Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
MA + MB ≥ 2√MA.MB = 2. √1 = 2
Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.
Khi đó OA = √(MA2 + MO2) = √2 ; OB = √(OM2 + MB2) = √2.
Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên A(√2; 0); B(0; √2)
Vậy tọa độ là A(√2, 0) và B(0, √2).
Đăng bởi: BNOK.VN
Chuyên mục: Giáo dục
As a Newbie, I am permanently browsing online for articles that can be of assistance to me. Thank you
I really appreciate this post. I have been looking all over for this! Thank goodness I found it on Bing. You have made my day! Thanks again!
I am really loving the theme/design of your website. Do you ever run into any browser compatibility problems? A few of my blog visitors have complained about my site not operating correctly in Explorer but looks great in Chrome. Do you have any recommendations to help fix this issue?
Hey There. I found your blog using msn. This is an extremely well written article. I’ll be sure to bookmark it and return to read more of your useful information. Thanks for the post. I’ll certainly comeback.
You are my breathing in, I have few web logs and very sporadically run out from to post .
Definitely believe that which you stated. Your favorite reason appeared to be on the web the easiest thing to be aware of. I say to you, I definitely get annoyed while people think about worries that they plainly do not know about. You managed to hit the nail upon the top and defined out the whole thing without having side effect , people could take a signal. Will probably be back to get more. Thanks
Unquestionably believe that which you said. Your favorite justification appeared to be on the internet the simplest thing to be aware of. I say to you, I definitely get irked while people think about worries that they just do not know about. You managed to hit the nail upon the top and defined out the whole thing without having side effect , people could take a signal. Will likely be back to get more. Thanks
I was suggested this web site by my cousin. I’m not sure whether this post is written by him as nobody else know such detailed about my trouble. You’re wonderful! Thanks!
I’ve been browsing online greater than 3 hours today, but I by no means discovered any fascinating article like yours. It is lovely price enough for me. In my view, if all website owners and bloggers made good content as you did, the internet will likely be a lot more helpful than ever before.
I would like to thnkx for the efforts you have put in writing this blog. I am hoping the same high-grade blog post from you in the upcoming as well. In fact your creative writing abilities has inspired me to get my own blog now. Really the blogging is spreading its wings quickly. Your write up is a good example of it.
I’ve recently started a web site, the info you provide on this web site has helped me greatly. Thank you for all of your time & work.
Way cool, some valid points! I appreciate you making this article available, the rest of the site is also high quality. Have a fun.
I have been examinating out a few of your articles and i must say pretty good stuff. I will definitely bookmark your site.
I am really loving the theme/design of your web site. Do you ever run into any browser compatibility issues? A number of my blog audience have complained about my website not working correctly in Explorer but looks great in Firefox. Do you have any tips to help fix this problem?
I am continually invstigating online for posts that can help me. Thank you!
Hiya, I’m really glad I’ve found this info. Nowadays bloggers publish only about gossips and net and this is really irritating. A good web site with exciting content, this is what I need. Thanks for keeping this web-site, I will be visiting it. Do you do newsletters? Can not find it.
My partner and I absolutely love your blog and find most of your post’s to be just what I’m looking for. Do you offer guest writers to write content to suit your needs? I wouldn’t mind producing a post or elaborating on most of the subjects you write concerning here. Again, awesome web log!
As I website possessor I conceive the articles here is real great, thankyou for your efforts.
Its like you read my mind! You seem to know so much about this, like you wrote the book in it or something. I think that you can do with some pics to drive the message home a bit, but instead of that, this is wonderful blog. An excellent read. I will certainly be back.