Mẹo nhỏ: Để tìm kiếm chính xác bài viết từ BNOK.VN, hãy search trên Google với cú pháp: "Từ khóa" + "BNOK". (Ví dụ: Bài Hát Tiếng Anh BNOK). Tìm kiếm ngay
26 lượt xem

Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp

Bạn đang quan tâm đến Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp phải không? Nào hãy cùng BNOK.VN đón xem bài viết này ngay sau đây nhé, vì nó vô cùng thú vị và hay đấy!

XEM VIDEO Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp tại đây.

Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp

Bài viết hôm nay, BNOK.VNbook.com sẽ giới thiệu cùng quý thầy cô và các bạn học sinh chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cùng chia sẻ ngay thôi nào !!!

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Khái niệm và tính chất

Bạn đang xem: Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp

tich co huongtich co huong

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (0; vec{i}; vec{j}),

(0; vec{i}; vec{j}), cho hai vec tơ overrightarrow a =({a_1};{a_2}), overrightarrow b = ({b_1};{b_2})overrightarrow a =({a_1};{a_2}), overrightarrow b = ({b_1};{b_2}). Khi đó tích vô hướng vec{a}vec{a} và vec{b}vec{b} là:

overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}

overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}

Nhận xét: Hai vectơ overrightarrow a =({a_1};{a_2}), overrightarrow b = ({b_1};{b_2})

overrightarrow a =({a_1};{a_2}), overrightarrow b = ({b_1};{b_2})khác vectơ vec{0}vec{0} vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0

{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0

3. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ overrightarrow a =({a_1};{a_2})

overrightarrow a =({a_1};{a_2}) được tính theo công thức:

|vec{a}| = sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}

|vec{a}| = sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu overrightarrow a =({a_1};{a_2}), overrightarrow b = ({b_1};{b_2})

overrightarrow a =({a_1};{a_2}), overrightarrow b = ({b_1};{b_2}) khác vectơ vec{0}vec{0} thì ta có:

cos(vec{a}, vec{b}) = frac{vec{a}.vec{b}}{|vec{a}|.|vec{b}|} = frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}

cos(vec{a}, vec{b}) = frac{vec{a}.vec{b}}{|vec{a}|.|vec{b}|} = frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})

A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}) được tính theo công thức :

AB = sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}

AB = sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Dạng 1: chứng minh Hai vecto vuông góc

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Nếu Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 thì hai vectơ Công thức, cách tính góc giữa hai vecto cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Công thức, cách tính góc giữa hai vecto cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 vuông góc với nhau, kí hiệu Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10.

Xem thêm  Bài 3 trang 101 SGK Ngữ văn 10 tập 1

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ

Cho Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10.

Khi đó:

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ Công thức, cách tính góc giữa hai vecto cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Công thức, cách tính góc giữa hai vecto cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 vuông góc với nhau và Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10. Chứng minh hai vectơ Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10. Chứng minh hai vectơ Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC và điểm D bất kỳ thuộc cạnh AC. Tính AD theo a để BD ⊥ AM.

Hướng dẫn giải:

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Dạng 2: Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù)

A. Phương pháp giải

Các bước làm bài

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 = (3;m) và Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10 = (1;7). Xác định m để góc giữa hai vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 và Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10 là 45°.

Hướng dẫn giải:

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 = (-1;1) và Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 = (m;⁡2). Tìm m để góc giữa hai vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 và Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 là 135°.

Hướng dẫn giải:

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Vậy không tồn tại m để góc giữa hai vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 và Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 là 135°.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 = (4;1) và vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 = (1;4). Tìm m để vectơ Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10=m.Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 + Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết - Toán lớp 10 tạo với vectơ Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10 một góc 45°.

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Hướng dẫn giải:

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù) cực hay - Toán lớp 10

Đáp án C

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Cho hai vectơ’ a và overline{mathrm{b}}. Chúng minh rằng:

Xem thêm  Hướng dẫn ghi học bạ theo Thông tư 27 Mẫu học bạ mới theo Thông tư 27/2020/TT-BGDĐT

text { a } cdot overline{mathrm{b}}=frac{1}{2}left(|overrightarrow{mathrm{a}}+overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{a}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}right)=frac{1}{2}left(|overrightarrow{mathrm{a}}|^{2}+|overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{a}}-overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}right)=frac{1}{4}left(|overrightarrow{mathrm{a}}+overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{a}}-overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}right)

text { a } cdot overline{mathrm{b}}=frac{1}{2}left(|overrightarrow{mathrm{a}}+overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{a}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}right)=frac{1}{2}left(|overrightarrow{mathrm{a}}|^{2}+|overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{a}}-overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}right)=frac{1}{4}left(|overrightarrow{mathrm{a}}+overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}-|overrightarrow{mathrm{a}}-overrightarrow{mathrm{b}}|^{2}right)

2.Cho hai vectơ overline{mathrm{a}}, overline{mathrm{b}}

overline{mathrm{a}}, overline{mathrm{b}} có |overline{mathrm{a}}|=5,|overline{mathrm{b}}|=12|overline{mathrm{a}}|=5,|overline{mathrm{b}}|=12 và |overline{mathrm{a}}+overline{mathrm{b}}|=13|overline{mathrm{a}}+overline{mathrm{b}}|=13.Tính tích vô hướng overline{mathrm{a}} cdot(overline{mathrm{a}}+overline{mathrm{b}})overline{mathrm{a}} cdot(overline{mathrm{a}}+overline{mathrm{b}})

và suy ra góc giữa hai vectơ a và mathrm{a}+mathrm{b}

mathrm{a}+mathrm{b}

3. Cho tam giác đều ABC canh a. Goi H là trung điểm BC,tính

a) overline{mathrm{AH}}, overline{mathrm{BC}}

a) overline{mathrm{AH}}, overline{mathrm{BC}}

b) mathrm{AB}. AC

b) mathrm{AB}. AC

c) mathrm{AC} . mathrm{CB}

c) mathrm{AC} . mathrm{CB}

4. Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính:

a) mathrm{AB}. mathrm{AC}

a) mathrm{AB}. mathrm{AC}

b) OA .AC

c) AC. CB

5. Tam giác mathrm{ABC} có mathrm{AC}=9, mathrm{BC}=5, mathrm{C}=90^{circ}

mathrm{ABC} có mathrm{AC}=9, mathrm{BC}=5, mathrm{C}=90^{circ}, tính AB.AC

6. Tam giác ABC có AB =5, AC =4, mathrm{~A}=120^{circ}

mathrm{~A}=120^{circ}

a)tính begin{array}{ll}overline{mathrm{AB}} cdot overline{mathrm{BC}} & text { b) Goi } mathrm{M} text { là trung điểm } mathrm{AC} text { tính } overline{mathrm{AC}}, overline{mathrm{MA}}end{array}

begin{array}{ll}overline{mathrm{AB}} cdot overline{mathrm{BC}} & text { b) Goi } mathrm{M} text { là trung điểm } mathrm{AC} text { tính } overline{mathrm{AC}}, overline{mathrm{MA}}end{array}

7. Tam giác ABC có mathrm{AB}=5, mathrm{BC}=7, mathrm{CA}=8

mathrm{AB}=5, mathrm{BC}=7, mathrm{CA}=8

a)Tính mathrm{AB}. mathrm{AC}

mathrm{AB}. mathrm{AC} rồi suy ra giá trị góc A

b)Tính CA . CB

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách giải phương trình bậc bốn tại đường link này nhé !

Đăng bởi: BNOK.VN

Chuyên mục: Giáo dục

Đến đây bài viết về Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp đã kết thúc. Hy vọng bạn luôn theo dõi và đọc những bài viết hay của chúng tôi trên website BNOK.VN

Chúc các bạn luôn gặt hái nhiều thành công trong cuộc sống!

Thông báo chính thức: BNOK.VN - Các bài viết được chúng tôi tổng hợp và biên soạn từ nhiều nguồn trên internet. Nêu chúng tôi có sử dụng hình ảnh và nội dung của các bạn mà chưa cập nhật nguồn, Xin liên hệ với chúng tôi thông qua email: info@bnok.vn để chúng tôi đc biết và cập nhật đầy đủ. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của chúng tôi.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.